ทำไมพายเป็นจำนวนอตรรกยะ

พาย คือ?

ภาพแสดงเส้นรอบวง (circumference) และเส้นผ่าศูนย์กลาง (diameter) ของวงกลมวงหนึ่ง (ภาพจากวิกิพีเดีย)

พาย หรืออักษรกรีกคือ π บางทีก็เขียนว่า pi คือ ค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์​ ที่คำนวณได้จากเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง หารด้วยเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมเดียวกันนี้

ดูภาพวงกลมด้านบนประกอบ – วงกลมวงนี้มีเส้นรอบวงแทนค่าด้วยสัญลักษณ์ C ส่วนเส้นผ่าศูนย์กลางแทนค่าด้วยสัญลักษณ์ d กล่าวได้ว่า

π = C/d

(หมายเหตุ / คือ เครื่องหมายหาร) โดยเป็นข้อเท็จจริงทางธรรมชาติว่า  เส้นรอบวง (ค่า C) มากกว่าเส้นผ่าศูนย์กลาง (ค่า d) ประมาณ 3 เท่าเพียงเล็กน้อย ไม่ว่าจะเป็นวงกลมที่มีเส้นผ่าศูนย์กลางขนาดเล็กใหญ่ขนาดไหนก็ตาม จะเป็นวงกลมเล็กๆเท่าจุดที่ตาแทบมองไม่เห็น หรือแม้วงกลมวงใหญ่ๆกว่าโลกของเรา ข้อเท็จจริงนี้ก็ยังเป็นจริงเสมอ คือ เส้นรอบวงยาวกว่าผ่าศูนย์กลางอยู่ 3 เท่าเพียงเล็กน้อย และ 3 เท่าเพียงเล็กน้อยนี่เอง คือ พาย!

สมัยที่ผมยังเด็ก ผมจำได้ว่าพายมีค่าเท่ากับ 22/7 หรือ 3.14 ซึ่งในความเป็นจริงแล้ว ค่าของพายอธิบายได้ละเอียดกว่า 22/7 และ 3.14 อย่างนับไม่ได้เลย ผมขออนุญาตคัดลอกเอาค่าพายเพียงส่วนหนึ่งจากวิกีพีเดียมาแสดงให้ดูดังนี้

π ≈ 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548

(หมายเหตุ – เครื่องหมาย ≈ บ่งบอกว่าเป็นการประมาณค่า)

จากค่าพายที่แสดงให้เห็นด้านบนนี้ ในความเป็นจริงแล้ว ค่าพายยาวกว่าที่เห็น เพราะที่แสดงด้านบนนี้เป็นเพียงค่าโดยประมาณ และมีการพิสูจน์แล้วว่า พายเป็นทศนิยมที่ยาวอย่างไม่มีจุดจุบ หรือเรียกว่าเป็นจำนวนอตรรกยะ อันเป็นจำนวนที่ไม่สามารถเขียนออกมาในรูปของเศษส่วนที่ทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มได้

พายเป็นจำนวนที่มีคุณสมบัติเป็นเลขทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำ โดยในปัจจุบันได้มีความพยายาม(และแข่งขัน)หาค่าของพายที่มีความยาวมากที่สุด ถ้าเป็นคอมพิวเตอร์ทั่วไปก็สามารถให้ค่าพายที่มีความยาวเลขทศนิมได้มากกว่าพันล้านตำแหน่ง แต่ซูเปอร์คอมพิวเตอร์สามารถให้ค่าพายได้ยาวกว่าสิบล้านล้านตำแหน่งเลยทีเดียว

ดังนั้น พายเท่ากับ 22/7 จึงไม่ถูกต้อง (อีกครั้งว่าจำนวนอตรรกยะไม่ใช่เศษส่วนที่เกิดจากจำนวนเต็มหารกัน) หากแต่ 22/7 เป็นจำนวนตรรกยะ (เช่น เศษส่วน) ที่ใกล้เคียงกับค่าของจำนวนอตรรกยะของพาย อย่างไรก็ดี 22/7 ยังเป็นจำนวนตรรกยะที่มีค่าสูงกว่าพายอยู่ดี เพราะ 22/7 ≈ 3.143 ซึ่งใกล้เคียงพายแค่ 2 ตำแหน่งหลังจุดทศนิยม

นอกจาก 22/7 แล้ว ยังมีจำนวนตรรกยะจำนวนอื่นที่ใกล้เคียงค่าพายกว่า 22/7 เช่น 333/106, 355/113, 52,163/16,604, และ 103,993/33,102 (อ้างอิงจากวิกิพีเดีย) เป็นต้น หากแต่  22/7 แสดงได้ด้วยจำนวนเต็มที่ทั้งเศษและส่วนมีค่าน้อยที่สุดและใกล้เคียงกับพาย (และคงง่ายต่อการจดจำ) ค่า 22/7 จึงถูกนำไปใช้แทนพายอย่างกว้างขวางถึงทุกวันนี้

 

ข้อความนี้ถูกเขียนใน Uncategorized คั่นหน้า ลิงก์ถาวร

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s